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.分析:依题意。如图19-132所示,设管静平衡时浸入水中长,由平衡条件得
S为管的截面积,所以
(1)
以静平衡位置为原点,建立如图7-15所示的坐标,描述管上P点的运动。P在处时,有
方向向上,是其回复力,得
(2)
其回复力符合简谐振动的定义,所以管在水中做简谐振动,且,而
则 (3)
管下沉到刚好全部浸入水中时,速度为零,而管子由刚好全部在水面上速度为零,而运动到全部在水面下速度为零,位移为管长L,由振动的对称性可知,管子做振动的平衡位置在位移L/2处,故求得:
当时,下沉所需时间为T/2,所以
当时,管在全部没入水中后还将继续下沉。但管全部入水后的下沉过程中,浮力不再改变,其运动加速度与全部没入水中前不同,所以应把管的下沉过程分为两个阶段来考虑。
第一阶段为管从开始下沉到刚好全部没入水中,其平衡位置为
由3式及1式得
静止开始时,管离平衡位置的距离为故简谐振动的振幅为
利用参考圆可以求出这一阶段的下沉运动所需时间
第二阶段,管全部浸入水中后,继续下沉,做匀减速运动。可以由动能定理求出刚好全部浸没水中时管的速度,即有
得
下沉加速度
方向向上,所以下沉时间
得下沉的总时间
解:(1)若,管将下沉到池底,因此只有时,才可能符合题给的情况。管下沉时,其重力势能减小,同时,在管全部沉没以前,管所排开的水可认为静止地移到池面(这部分水的重心在水下L/2处),这部分水的重力势能增加,管沉没的开始阶段,其动能增加,以后动能减小,在下沉停止时动能又为零。
按题意,若值时,管刚好全部没入水中,令管的截面积为S,有管的重力势能减小,这时管所排开的全部水的势能的增加等于所排开水柱的质量乘以其重心上升的高度,所以管所排开的水的重力势能增加。不计水的阻力时,可以认为下沉过程中管与水的总机械能守恒。因为始末动能均为零,应有,即
得
(2)研究管下沉的运动。当管下端的深度为时,管受重力,浮力,管所受合力(不计表面张力、阻力)为
(1)
方向向下,若是,管受合力为零,则由1式可得
(2)
代入得
管入水后的加速度为
(3)
可见管入水后应做竖直方向的简谐振动,振幅为
当时,,又,得
(4)
管下端由到(全部没入水中)所需的时间t为半个周期,则
(3)由于,管在全部没入水中后还将继续下沉。但管全部入水后的下沉过程分为两个阶段。第一阶段是管从开始下沉到刚好全部沉入水。在这一阶段中,在的情形下,第(2)问中的(1)、(2)、(3)、(4)式都适用。因此这阶段中管按简谐振动规律运动,其平衡位置在
简谐振动周期为
由静止开始时,管离平衡位置的距离为,故简谐振动的振幅为。利用参考圆可以求出这一阶段的下沉运动所需的时间t1。设质点沿半径为的圆周以角速度运动,质点在轴上的投影即代表管下端的运动。如图19-133所示。当管刚好全部没入水中时,,已越过平衡位置。从参考圆可得,在管下端由下沉到时,质点运动所转过的角度为,所以管下沉的第一阶段所需时间为
第二阶段是管全部浸没水中,时,管仍向下运动,其速度用动能定理求出。有
(5)
得
所以
管下沉到最低位置阶段中,浮力等于不变,求出向下加速度
即管在这阶段中做匀减速运动,所需时间
管下沉到最低位置共需时间
点评:从分析与求解过程中可知有多种解法,可以多种角度考查浮力知识、运动学和动力学知识。本题利用参考圆来分析,求解相应、时间、速度等比较方便,但要注意对应关系。如图19-133所示的轴原点在右端而不在圆心上。
问题1:水坝必然会受到水的压力,压力达到一定程度的时候,会有水坝开裂之类的危险。我们这里所说的合理,也就是考虑它受到的压力的影响。本题也就是一个简单的力的分解与实际结合起来的题目。
答案A的形状,受力均匀,但是显然,垂直大坝的冲击力是很大的,不存在其它方向上的分力,大坝比较容易开裂之类的。
答案C以及D,其实基本上是同一种大坝。他们受到水的压力之后,会沿大坝的形状上产生分力,也就是说这两种大坝,最后的压力都几乎会集中到大坝的中间段。而一旦中间段受到的力非常大的时候,结果肯定是大坝裂开!这是最危险的两种大坝。
答案B的大坝,受力后也沿大坝的形状上产生分力,分力会分在大坝的两端。而且,一般来说大坝的两端都是靠山之类的,能承受非常大的压力。
所以说,答案B是最合理的。
问题二:先说一下理想下宽上窄的锥形瓶的体积的计算公式。
V=0.5(S0+S1)h,S0为锥形瓶的底部表面积,S1为h高度时的液面面积,h为液面的高度。根据上述公式得到h=2V/(S0+S1)。
把m=ρV带入,最后算得P=ρgh=2mg/(S0+S1)。
显然,液面越高S1越小。当密度变大的时候,液面是降低的,S1也就是增大的;当密度变小的时候,液面升高,S1也会变小。在上面的P=ρgh=2mg/(S0+S1)里面,S1变大时,P减小。S1减小时,P变大。所以答案是 压强先变小后变大。
问题三:本题比较简单,画一个图容易分析的。
在未加那个C点的力之前,系统是平衡的。不用计算这个时候的各种力,完全没必要。但是必须理解,A支点的力是向上的,B支点的力是向下的,相信这个容易理解吧。
在C点加一个力△FC之后,就相当于一个挑担的人A的一端加了一个力△FC,另一端也加一个力△FB,才能保持平衡。而明显的,A的△FA是变大了,它的两端都多了向下的力,B点的力△FB也是变大的。而A点的△FA是等于B、C两点所加力的总和的,所以有△FA>△FB 。
问题四:简单的排除法就可以解决。在1/24秒内,如果是转动了60乘以n的,n为自然数,那么我们看到的就会有在原处的错觉。如果不是的,必然就会有前进或者后退了的感觉,所以D是错误的,那个时候应该是感觉得到动的。
分析的话,A、C必对,不论了。B答案,1/24秒转过355度,我们在1/24秒后看到的将是辐条逆时针转过了5度,再1/24秒,又是逆时针转动5度……所以最后的结论就是我们看到辐条在逆时针旋转,也就是说车轮在倒转。同理可分析365度的情况是车轮在顺时针转动。
问题5:(本题我不敢肯定是否正确,你可以参考一下,有错请多包涵,多多指教啊)。
(多谢指教,修改如下)。
AB物体水平传播光线经过凸透镜后,在右边成像。右边的焦点之前成正立的实像AB,焦点之后成倒立的实像BA。
AB物体都先经过焦点,再通过透镜,便会水平传播,在15cm处会被镜子反射,形成一个像,倒立的虚像BA。
所以本题答案选D。
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